第57章 陆凡赢了！(第2/2 页)

a 与 p 互素 (也即p ? a ，除了k × p 的数)，满足a p ? 1 ≡ 1 ( m o d p ) 。

那我们就要考虑一个问题，Fermat小定理的逆命题是否依然成立呢？

也就是说，如果对所有与m互素的a，都满足

a m ? 1 ≡ 1 ( m o d m ) 。

请问m是否一定是素数？

显然这道题是Fermat小定理的逆命题不成立的一个反例。”

说到这，陆凡微微顿了顿，目光看向场上众人，想知道他们是否能听明白自己的解释。

结果很明显，只有一小部分人听懂了，但更多的人则是一脸茫然，就好像在跟听天书一样。

这就是天赋上的差距，没办法。

“那下面我来具体证明一下。

由于 m = 561 = 3 × 11 × 17 ，所以m不是素数。

另外 a 与 m互素，因此 3 ? a ， 11 ? a ， 17 ? a ，则根据Fermat小定理有a 2 ≡ 1 ( mod?3 ) ， a 10 ≡ 1 ( mod??11 ) ， a 16 ≡ 1 ( mod?17 ) 。

但是2∣560 ， 10∣560 ， 16∣560，所以a 560 对3，11，17中的每一个模也都余1，即

a 560 ≡ 1 (mod?3 ) ， a 560 ≡ 1 (mod?11 ) ， a 560 ≡ 1 (mod?17 )

由于3 ， 11 ， 17 的最小公倍数为3 × 11 × 17 = 561 = m。

根据同余性质，可知

a 560 ≡ 1 ( m o d 561 ) 成立。

这个反例就说明了Fermat小定理的逆命题是不成立的，那么这道题的整个论证过程就已经完全出来了。”

说到这，陆凡再次停顿，目光看向陈锐和李冉。

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